Question

【題目】如圖，在梯形中， ， ，四邊形為矩形，且平面， .

（1）求證： 平面；

（2）點在線段（含端點）上運動，當點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）由， 可得.由可得.從而平面

（2）分別以直線， ， 為軸， 軸， 軸的如圖所示建立空間直角坐標系，令 (). 平面的一個法向量=(1, , ), =(1,0,0)是平面的一個法向量. ∵,∴當時， 有最小值.

試題解析： (I)在梯形中，∵，設，

又∵,∴，∴

∴∴.

∵， ，

∴，而，

∴

∵ ∴.

(II)由(I)可建立分別以直線， ， 為軸， 軸， 軸的如圖所示建立空間直角坐標系，

設，令 (),則 (0，0，0)， (，0，0)， (0，1，0)， (，0，1)，

∴=(-，1，0)， =( ，-1，1)，

設為平面的一個法向量，

由得

取,則=(1, , ),

∵=(1,0,0)是平面的一個法向量,

∴

∵,∴當時， 有最小值，

∴點與點重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為.