Question

設函數f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2．
（I）求a，b的值；
（II）證明：

1

2

f(x)≤x-1．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=x+ax²+blnx，知f′(x)=1+2ax+

b

x

，由y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2，知

f(1)=1+a=0 f′(1)=1+2a+b=2

，由此能求出a，b．
（II）f（x）的定義域為（0，+∞），由（I）知f（x）=x-x²+3lnx，設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，則g′(x)=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

，由此能證明

1

2

f(x)≤x-1．

解答：解：（I）∵f（x）=x+ax²+blnx，
∴f′(x)=1+2ax+

b

x

，
∵y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2，
∴

f(1)=1+a=0 f′(1)=1+2a+b=2

，
解得a=-1，b=3．
（II）f（x）的定義域為（0，+∞），
由（I）知f（x）=x-x²+3lnx，
設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，
則g′(x)=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

，
當0＜x＜1時，g（x）′＞0；當x＞1時，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）單調增加，在（1，+∞）單調減少．
∴g（x）_max=g（1）=0．
∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
∴

1

2

f(x)≤x-1．

點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，考查不等式的證明．解題要認真審題，注意導數性質和構造法的合理運用．