Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析：（1）把M的橫坐標代入準線方程得到一個關系式，然后由短半軸b和c表示出a，代入關系式得到關于c的方程，求出方程的解得到c的值，進而得到a的值，由a和b的值寫出橢圓的標準方程即可；
（2）設出以OM為直徑的圓的方程，變為標準方程后找出圓心坐標和圓的半徑，由以OM為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長，過圓心作弦的垂線，根據垂徑定理得到垂足為中點，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構成直角三角形，利用點到直線的距離公式表示出圓心到3x-4y-5=0的距離d，根據勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；
（3）設出點N的坐標，表示出

FN

，

OM

，

MN

及

ON

，由

FN

⊥

OM

，得到兩向量的數量積為0，利用平面向量的數量積的運算法則表示出一個關系式，又

MN

⊥

ON

，同理根據平面向量的數量積的運算法則得到另一個關系式，把前面得到的關系式代入即可求出線段ON的長，從而得到線段ON的長為定值．

解答：解：（1）又由點M在準線上，得

a2

c

=2
故

1+c2

c

=2，∴c=1，從而a=

2

所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）以OM為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-t）=0
即(x-1)2+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1
其圓心為(1，

t

2

)，半徑r=

t2 4 +1

因為以OM為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=

r2-1

=

t

2

所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5
（3）設N（x₀，y₀），則

FN =(x0-1，y0)， OM =(2，t)

，

MN =(x0-2，y0-t)， ON =(x0，y0)

，
∵

FN

⊥

OM

，∴2（x₀-1）+ty₀=0，∴2x₀+ty₀=2，
又∵

MN

⊥

ON

，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+ty₀=2，
所以|

ON

|=

x02+y02

=

2

為定值．

點評：此題綜合考查了橢圓的簡單性質，垂徑定理及平面向量的數量積的運算法則．要求學生掌握平面向量垂直時滿足的條件是兩向量的數量積為0，以及橢圓中長半軸的平方等于短半軸與半焦距的平方和．