Question

設，函數 

（1）當時,求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求函數的單調區間；

（3）當時,求函數的最小值

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) 在內單調遞減，內單調遞增；

（3） 

【解析】

試題分析：(1)寫出函數的解析式，求導得斜率，求切點，進而得直線方程，注意解析式的取舍（時）；（2）函數為分段函數，分段判單調性，求出函數的單調區間；（3）分和兩種情況進行分析，在第二種情況下要對與區間進行比較，又分三種情況進行判斷單調性，求最小值

試題解析：（1）當時，，令得，

所以切點為，切線斜率為1，

所以曲線在處的切線方程為： 

（2）當時

當時，，

在內單調遞減，內單調遞增；

當時，恒成立，故在內單調遞增；

綜上，在內單調遞減，內單調遞增．

（3）①當時，， 

，恒成立． 在上增函數．

故當時，

 ②  當時，，

（）

ⅰ)當，即時，在時為正數，所以函數在上為增函數，

故當時，，且此時 

ⅱ)當，即時，在時為負數，在時為正數，

所以在上為減函數，在為增函數

故當時，，且此時 

ⅲ)當，即時，在時為負數，所以函數在上為減函數，

故當時， 

綜上所述，當時，函數在和時的最小值都是 

所以此時函數的最小值為；當時，函數在時的最小值為，而，

所以此時的最小值為 

考點：1 求切線方程；2 函數的單調性判斷（導數法）；3 利用導數求函數的最值