Question

（2011•鹽城二模）在△ABC中，角A、B、C的所對邊的長分別為a、b、c，且a=

5

，b=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求 sin(2A-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理得到

c

sinC

=

a

sinA

，將a的值及sinC=2sinA代入，即可求出c的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，將a，b及求出的c值代入，求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，進而利用二倍角的正弦函數公式求出sin2A及cos2A的值，將所求式子利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）∵a=

5

，sinC=2sinA，
∴根據正弦定理

c

sinC

=

a

sinA

得：c=

sinC

sinA

a=2a=2

5

；
（Ⅱ）∵a=

5

，b=3，c=2

5

，
∴由余弦定理得：cosA=

c2+b2-a2

2bc

=

2 5

5

，
又A為三角形的內角，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=cos²A-sin²A=

3

5

，
則sin（2A-

π

3

）=sin2Acos

π

3

-cos2Asin

π

3

=

4-3 3

10

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．