Question

如圖，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數y=Asin(ωx+

2π

3

)（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（-1，2）．賽道的中間部分為長

3

千米的直線跑道CD，且CD∥EF．賽道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧

DE

．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧

DE

上，且∠POE=θ，求當“矩形草坪”的面積取最大值時θ的值．

Answer 1

分析：（1）依題意，得A=2，

T

4

=3．根據周期公式T=

2π

w

可得ω，把B的坐標代入結合已知可得φ，從而可求∠DOE的大小；
（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面積S關于θ的函數，有0＜θ≤

π

4

，結合正弦函數的性質可求S取得最大值．

解答：解：（1）由條件，得A=2，

T

4

=3．（2分）
∵T=

2π

ω

，∴ω=

π

6

．（4分）
∴曲線段FBC的解析式為y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)．
當x=0時，y=OC=

3

．又CD=

3

，∴∠COD=

π

4

，即∠DOE=

π

4

．（7分）
（2）由（1），可知OD=

6

．
又易知當“矩形草坪”的面積最大時，點P在弧DE上，故OP=

6

．（8分）
設∠POE=θ，0＜θ≤

π

4

，“矩形草坪”的面積為S=

6

sinθ(

6

cosθ-

6

sinθ)=6(sinθcosθ-sin2θ)
=6(

1

2

sin2θ+

1

2

cos2θ-

1

2

)=3

2

sin(2θ+

π

4

)-3．（13分）
∵0＜θ≤

π

4

，故當2θ+

π

4

=

π

2

時，θ=

π

8

時，S取得最大值．（15分）

點評：本題主要考查了在實際問題中，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數的解析式，一般步驟是：由函數的最值確定A的值，由函數所過的特殊點確定周期T，利用周期公式求ω，再把函數所給的點（一般用最值點）的坐標代入求φ，從而求出函數的解析式；還考查了實際問題中的最值的求解．關鍵是要把實際問題轉化為數學問題來求解．