Question

已知某工廠生產并銷售某種產品，每月生產該產品的成本C（x）（單位：萬元）與產品數量x（單位：噸）之間的函數關系為C(x)=

a-1

2

x2+lnx，每噸該產品的銷售價為a萬元．且為保證設備的正常運轉，每月至少生產1噸該產品．
（1）若a=2，且每月的生產能力不超過5噸，求C（x）的變化范圍；
（2）若需要保證在該產品的生產銷售中不出現虧本，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）寫出函數解析式，確定函數在[1，5]上單調遞增，即可得到結論；
（2）由題意，ax-

a-1

2

x2-lnx≥0（x≥1），令y=ax-

a-1

2

x2-lnx（x≥1），求導函數，分類討論，求最值，可求a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，1≤x≤5，C(x)=

1

2

x2+lnx，
∴C′(x)=

x2+1

x

＞0，∴函數在[1，5]上單調遞增，∴

1

2

≤C（x）≤

25

2

+ln5；
（2）由題意，ax-

a-1

2

x2-lnx≥0（x≥1），
令y=ax-

a-1

2

x2-lnx（x≥1），則y′=a-(a-1)x-

1

x

=-

(x-1)[(a-1)x-1]

x

1°0＜a＜1時，y′＞0，函數在[1，+∞）上單調遞增，∴a-

a-1

2

≥0，∴a≥-1，∴0＜a＜1；
2°1＜a≤2時，函數在[1，

1

a-1

）上單調遞增，在[

1

a-1

，+∞）上單調遞減，函數無最小值；
3°a＞2時，y′＜0，函數在[1，+∞）上單調遞減，∴函數無最小值，
綜上：0＜a＜1．

點評：本題考查利用函數知識解決實際問題，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．