Question

設，曲線在點處的切線與直線垂直.

(1)求的值;

(2) 若，恒成立，求的范圍.

(3)求證：

 

Answer 1

【答案】

(1) 0. (2)  .

(3) 結合（2）時,成立.令

得到，

  

累加可得.

【解析】

試題分析：(1)求導數，并由得到的值; (2)恒成立問題，往往轉化成求函數的最值問題.本題中設，即轉化成.利用導數研究函數的最值可得.

(3) 結合（2）時,成立.令得到，

  

累加可得.

試題解析：(1)            2分

由題設，

，.                     4分

 (2) ,，，即

設，即.

                   6分

①若，，這與題設矛盾.         8分

②若方程的判別式

當，即時，.在上單調遞減，

，即不等式成立.                                             9分

當時，方程，其根，，

當,單調遞增，，與題設矛盾.

綜上所述， .                               10分

(3) 由(2)知,當時, 時,成立.

 不妨令

所以，

           11分

              12分

累加可得

            14分

考點：導數的幾何意義，利用導數研究函數的性質，利用導數證明不等式.