Question

若關于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t，（t∈T）的解集非空．
（Ⅰ）求集合T；
（Ⅱ）若a，b∈T，求證：ab+1＞a+b．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式

分析：對第（1）問，只需t大于|x-2|+|x-3|的最小值，轉化為求|x-2|+|x-3|的最小值問題；
對第（2）問，利用作差比較法比較兩式的大小，作差后，通過分組分解的方式進行因式分解，根據題設即可達到目的．

解答： 解：（Ⅰ）∵關于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t的解集非空，
∴t大于|x-2|+|x-3|的最小值，
而|x-2|+|x-3|≥|（x-2）-（x-3）|=1，
當且僅當（x-2）（x-3）≤0，即2≤x≤3時取“=”號，
∴t＞1，即得T={t|t＞1 }．
（Ⅱ）（ab+1）-（a+b）=（ab-a）+（1-b）=a（b-1）-（b-1）=（b-1）（a-1），
∵a，b∈T，∴a＞1，b＞1，
∴（b-1）（a-1）＞0，即（ab+1）-（a+b）＞0，
∴ab+1＞a+b．

點評：1、本題屬于含參數的不等式有解問題，一般套路是：
若關于x的不等式t＞f（x）有解，則t＞[f（x）]min；
若關于x的不等式t＜f（x）有解，則t＜[f（x）]max．
值得注意的是，原不等式中是否含有等于號，f（x）是否有最值，這都可能會影響到t能否取等于號，對具體問題應具體分析，不能死搬套路．
2、作差比較法的一般步驟是：
①作差；
②將差式變形
若為整式，常通過因式分解的方式，將差式化為幾個式子相乘的形式，
若為分式，且分母不同，可先通分，將差式化為兩式子相比的形式；
③判斷差式的符號；
④下結論．