Question

（1）若，求x；
（2）若函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象記為C
（I）求曲線C在A（1，3）處的切線方程？
（II）若直線l為曲線C的切線，并且直線l與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求所有這樣直線l的方程？

Answer 1

解：（1）∵，且
∴x²•1=2•x，解之得x=0或2
（2）=x²•x+1×2=x³+2
（I）對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3x²，
∴曲線C：y=f（x）在A（1，3）處切線的斜率k=f'（1）=3
結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程是y-3=3（x-1），即y=3x．
（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)P（t，t³+2），得在點(diǎn)P處切線的斜率k=f'（t）=3t²．
∴曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y-（t³+2）=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³+2
由得3t²x-2t³+2=x³+2，即x³-3t²x+2t³=0
∴（x-t）²（x+2t）=0，
因?yàn)榍芯�與曲線C有且僅有一條一個(gè)公共點(diǎn)，所以只有t=0時(shí)以上方程有相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)l方程為y=2
∴存在直線l為曲線C的切線，并且直線l與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)切線方程為y=2．
分析：（1）根據(jù)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于x的方程，解之即可得到實(shí)數(shù)x的值；
（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得y=f（x）=x²•x+1×2=x³+2
（I）求出導(dǎo)數(shù)f'（x）在x=3處的函數(shù)值，即得切線的斜率，再用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)整理即可得到曲線C在A（1，3）處的切線方程；
（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)P（t，t³+2），得曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y=3t²x-2t³+2．將此切線方程與y=f（x）聯(lián)解，所得方程有唯一實(shí)數(shù)根，可得t=0．由此即可得到
點(diǎn)評(píng)：本題以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，求三次多項(xiàng)式函數(shù)圖象的切線問題，著重考查了平面向量的坐標(biāo)表示和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線等知識(shí)，屬于中檔題．