Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx+c，滿足f（1）=﹣ ， 且3a＞2c＞2b．
（1）求證：a＞0時，的取值范圍；
（2）證明函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個零點；
（3）設x1 ， x2是函數f（x）的兩個零點，求|x1﹣x2|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
從而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，
即﹣3＜＜﹣．
（2）根據題意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．
下面對c的正負情況進行討論：
①當c＞0時，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
所以函數f（x）在區間（0，1）內至少有一個零點；
②當c≤0時，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函數f（x）在區間（1，2）內至少有一個零點；
綜合①②得函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個零點；
（3）．∵x1 ， x2是函數f（x）的兩個零點
∴x1 ， x2是方程ax2+bx+c=0的兩根．
故x1+x2=﹣，x1x2===-
從而|x1﹣x2|===．
∵﹣3＜＜﹣
∴|x1﹣x2|．
【解析】（1）根據f（1）=0，可得a，b，c的關系，再根據3a＞2c＞2b，將其中的c代換成a與b表示，即可求得的取值范圍；
（2）求出f（2）的值，再根據已知條件，分別對c的正負情況進行討論即可；
（3）根據韋達定理，將|x1﹣x2|轉化成用兩個根表示，然后轉化成用表示，運用（1）的結論，即可求得|x1﹣x2|的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．