Question

5．已知函數f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）若a=2，求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數不等式，求出函數的單調區間；
（2）分離參數a，令$h（x）=\frac{x}{lnx}，則{h^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，根據函數的單調性求出h（x）的最小值，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=2時，${f^'}（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}，令{f^'}（x）＞0$，得x＞2，
所以函數f（x）得單調遞增區間為（2，+∞），單調遞減區間為（0，2）…（4分）
（2）對于$x∈（1，+∞）時f（x）＞0恒成立?a＜\frac{x}{lnx}對于x∈（1，+∞）恒成立$$?a＜{（\frac{x}{lnx}）_{min}}$…（6分）
令$h（x）=\frac{x}{lnx}，則{h^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，由h'（x）＞0⇒x＞e，
所以h（x）的單調增區間為（e，+∞），單調遞減區間為（1，e）…（10分）
∴h（x）_min=h（e）=e，∴a＜e，a的取值范圍為（-∞，e）…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．