Question

在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，并且PD=a,　PA=PC=a,

       (1)求證：PD⊥平面ABCD；

       (2)求異面直線PB與AC所成的角；

       (3)求二面角A－PB－D的大小；

       (4)在這個四棱錐中放入一個球，求這個球的最大半徑.

Answer 1

(1)證明：∵PD=a,PA=PC=a,?

∴△PAD和△PCD都是等腰直角三角形.?

從而PD⊥平面ABCD.?

(2)解析：PB在底面的射影是DB，而DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，由三垂線定理得PB⊥AC,∴異面直線PB與AC所成的角為直角.?

(3)解析：設AC與BD相交于O，過O作OG⊥PB于G，連結AG,?

∵AO⊥BD,AO⊥PD,?

∴AO⊥平面PBD.?

由三垂線定理可得∠AGO就是二面角A-PB-D的平面角.?

易得OG=a,AC=,tan∠AGO=,∴∠AGO=arctan,即二面角A-PB-D的大小為arctan.?

(4)解析：∵所求球必與四棱錐內切，?

∴球心到各面的距離均為球半徑R，把球心與各頂點連結起來，四棱錐P—ABCD的體積就分成以球心為頂點的五個小三棱錐的體積.?

S_全=S_底+S_側=a²+(2×a²+2×a×a)=(2+)a².?

又四棱錐P—ABCD的體積為V=a³,?則由V=S_全×R，得R=a.