Question

設，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

（1）橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）拋物線上存在四個點使得為直角三角形

解析:

（1）由得，

當得，G點的坐標為，

， ，

過點G的切線方程為即，

令得，點的坐標為，

由橢圓方程得點的坐標為，即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,

以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。

若以為直角，設點坐標為，

、兩點的坐標分別為和，

。

關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，

因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。