Question

【題目】已知+1（）在（0，+∞）內有且只有一個零點,則在[﹣1,1]上的值域為

A. [﹣4,0] B. [﹣4,1] C. [﹣1,3] D. [﹣，12]

Answer 1

【答案】B

【解析】

f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），當a≤0時，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上沒有零點；當a＞0時，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解為x＞，f（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）遞增，由f（x）只有一個零點，解得a=3，從而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，利用導數性質能求出f（x）在[﹣1，1]上的值域即可．

∵函數f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個零點，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），

①當a≤0時，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，f（0）=1，

f（x）在（0，+∞）上沒有零點，舍去；

②當a＞0時，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解為x＞，

∴f（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）遞增，

又f（x）只有一個零點，

∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，

f′（x）＞0的解集為（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上遞增，在（0，1）上遞減，

f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，

故函數的值域是[﹣4，1]，

故選：B．