Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數零點的個數；

（2）若函數存在兩個零點，證明：．

Answer 1

【答案】（1）時，函數無零點.時，函數有1個零點. 時，函數有2個零點. （2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導數，得出函數的單調區間，根據的符號，函數零點的個數.

（2）由（1）知兩個零點，，，零點間關系是，變形為，引入變量，則，，，要證的不等式等價變形為，，即證，（），為此引入新函數，利用導數研究函數的單調性為減函數，則可證得結論成立，這里需要多次求導變形再求導才可證明．

(1)有題意得

由得，得，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

時，取得極大值，也是最大值為，

所以當，即時，函數無零點.

當，即時，函數有1個零點.

當，即時，

，設，

在恒成立，

在單調遞減，，

所以，在，各有一個零點，

函數有2個零點.

綜上所述：時，函數無零點.

時，函數有1個零點.

時，函數有2個零點.

（2）由（1），即時，

有兩個零點，（），則，，

由，得，

令，則，，，

，顯然成立，

要證，即證，

只要證，即證，（），

令，，

，，

令，則，，令，

，，

令，

，時，是減函數，

所以時，，

所以是減函數，，即（），

所以是減函數，，

所以，在時是減函數，

，即，

所以在上是減函數，，

所以，即，

綜上，成立．