Question

數列{a_n}的項是由1或0構成，且首項為1，在第k個1和第k+1個1之間有2k-1個0，即數列{a_n}為：1，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，…，記數列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₃=

45

．

Answer 1

分析：分析出連續出現0的規律，由等差數列的前n項和求出k+1個1前所有0的個數，從而得到第k+1個1前所有項，求出滿足k²+k≤2013的最大自然數k，則答案可求．

解答：解：連續出現0的個數為1，3，5，7，9，…2k-1，…成等差數列．
∴第k+1個1前所有0的個數為1+3+5+…+（2k-1）=

k[1+(2k-1)]

2

=k2
則第k+1個1前所有項為k²+k，
由k²+k≤2013，解得-

1

2

-

8053

2

≤k≤-

1

2

+

8053

2

，
∵k∈N^*，∴當k=44時，第45個1前共有1980項．
故S₂₀₁₃=45+33×0=45．
故答案為：45．

點評：本題考查了數列的求和，考查了等差數列的前n項和，關鍵在于發現規律，是中檔題．