Question

【題目】已知A（x1 ， f（x1），B（x2 ， f（x2））是函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）圖象上的任意兩點，且初相φ的終邊經過點P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4時，|x1﹣x2|的最小值為 ． （Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[0， ]時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）當x∈[0， ]時，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵初相φ的終邊經過點P（1，﹣ ）， ∴φ為第四象限角，且tanφ= =﹣ ，
再結合﹣ ＜φ＜0，可得φ=﹣ ．
∵|f（x1）﹣f（x2）|=4時，|x1﹣x2|的最小值為 = = ，
∴ω=3，函數f（x）=2sin（3x﹣ ）．
（Ⅱ）令2kπ﹣ ≤3x﹣ ≤2kπ+ ，
求得 ﹣ ≤x≤ + ，
可得函數的增區間為[ ﹣ ， + ]．
再結合x∈[0， ]，
可得當x∈[0， ]時函數的增區間為[0， ]．
（Ⅲ）∵當x∈[0， ]時，
∴3x﹣ ∈[﹣ ， ]，
f（x）∈[﹣ ，1]，
故 1﹣ 的最大值為1﹣ = ．
不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，
即m≥ =1﹣ 恒成立，
∴m≥ ．
【解析】（Ⅰ）由條件利用任意角的三角函數的定義，求得tanφ的值，可得φ的值．（Ⅱ）由條件利用正弦函數的單調性，求得函數f（x）的單調遞增區間．（Ⅲ）由題意可得f（x）的值域，可得 1﹣ 的最大值，條件即m≥ =1﹣ 恒成立，從而求得m的范圍．