Question

若A₁，A₂，…，A_m為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且滿足兩個(gè)條件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②對(duì)任意的{x，y}A，至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}；
則稱集合組A₁，A₂，…，A_m具有性質(zhì)P。
如圖，作n行m列數(shù)表，定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為，

（Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)P，如果是請(qǐng)畫出所對(duì)應(yīng)的表格，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由；
集合組1：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合組2：A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}；
（Ⅱ）當(dāng)n=7時(shí)，若集合組A₁，A₂，A₃具有性質(zhì)P，請(qǐng)先畫出所對(duì)應(yīng)的7行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）當(dāng)n=100時(shí)，集合組A₁，A₂，…，A_t是具有性質(zhì)P且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求t的值及|A₁|+|A₂|+…+|A_t|的最小值。（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的個(gè)數(shù)）

Answer 1

解：（Ⅰ）集合組1具有性質(zhì)P， 所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為： 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 集合組2不具有性質(zhì)P，因?yàn)榇嬖?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110920/201109201429157341065.gif">， 有， 與對(duì)任意的，都至少存在一個(gè)i∈{1，2，3}，有或{y}矛盾， 所以集合組不具有性質(zhì)P。 （Ⅱ） 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ； （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同） （Ⅲ）設(shè)所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表M， 因?yàn)榧�合組為具有性質(zhì)P的集合組，所以集合組滿足條件①和②， 由條件①：， 可得對(duì)任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有， 所以，即第x行不全為0， 所以由條件①可知數(shù)表M中任意一行不全為0； 由條件②知，對(duì)任意的，都至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，t}， 使或{y}， 所以一定是一個(gè)1一個(gè)0，即第x行與第y行的第i列的兩個(gè)數(shù)一定不同； 所以由條件②可得數(shù)表M中任意兩行不完全相同； 因?yàn)橛?，1所構(gòu)成的t元有序數(shù)組共有2t個(gè)，去掉全是0的t元有序數(shù)組，共有個(gè)， 又因數(shù)表M中任意兩行都不完全相同，所以，所以t≥7， 又t=7時(shí)，由0，1所構(gòu)成的7元有序數(shù)組共有128個(gè)，去掉全是0的數(shù)組，共127個(gè)， 選擇其中的100個(gè)數(shù)組構(gòu)造100行7列數(shù)表，則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì)P，所以t=7； 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110920/201109201429163431092.gif">等于表格中數(shù)字1的個(gè)數(shù)， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少， 而t=7時(shí)，在數(shù)表M中， 1的個(gè)數(shù)為1的行最多7行； 1的個(gè)數(shù)為2的行最多行； 1的個(gè)數(shù)為3的行最多行； 1的個(gè)數(shù)為4的行最多行； 因?yàn)樯鲜龉灿?8行，所以還有2行各有5個(gè)1， 所以此時(shí)表格中最少有個(gè)1， 所以的最小值為304。