Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+8n+14（n∈N^*），其中a₁=14
（Ⅰ）設a_n=b_n-4n-9，求證{b_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：對任意的n∈N^*，a_2n能被64整除．

Answer 1

考點：數列遞推式,二項式定理的應用

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）利用a_n=b_n-4n-9，結合a_n+1=3a_n+8n+14，證明b_n+1=3b_n即可；
（Ⅱ）利用數學歸納法，進行證明．

解答： 證明：（Ⅰ）∵a_n=b_n-4n-9，∴a_n+1=b_n+1-4（n+1）-9
又∵a_n+1=3a_n+8n+14，∴b_n+1-4（n+1）-9=3（b_n-4n-9）+8n+14，
∴b_n+1=3b_n，
又b₁=27，∴{b_n}是以27為首項，3為公比的等比數列，
∴bn=3n+2，∴an=3n+2-4n-9；
（Ⅱ）1°，n=1時，a₂=64，能被64整除，命題成立2°，假設n=k時命題成立，即a2k=9k+1-8k-9能被64整除，
則：a2(k+1)=9k+2-8(k+1)-9=9(9k+1-8k-9)+64(k+1)，
∵9^k+1-8k-9和64（k+1）都能被64整除，
∴a_2（k+1）能被64整除，
即n=k+1時命題也成立
綜上可得：對任意的n∈N^*，a_2n能被64整除．

點評：本題考查了整數的整除性．運用數學歸納法將問題由特殊到一般進行證明．