Question

已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和最小值；
（Ⅱ）若函數F（x）=在[1，e]上是最小值為，求a的值；
（Ⅲ）當b＞0時，求證：（其中e=2.718 28…是自然對數的底數）．

Answer 1

（Ⅰ）解：求導函數可得：f′（x）=lnx+1（x＞0）
令f′（x）≥0，即lnx≥-1，∴x；令f′（x）≤0，即lnx≤-1，∴0＜x；
∴f（x）單調遞增區間為[，+∞），單調遞減區間為（0，]
∴f（x）_min=f（）=-
（Ⅱ）解：F（x）==，求導函數可得F′（x）=
當a≥0時，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上單調遞增，F（x）_min=-a=，∴a=-∉[0，+∞），舍去；
當a＜0時，F（x）在（0，-a）單調遞減，在（-a，+∞）單調遞增
若a∈（-1，0），F（x）在[1，e]上單調遞增，F（x）_min=-a=，∴a=-∉（-1，0），舍去；
若a∈[-e，-1]，F（x）在（1，-a）單調遞減，在（-a，e）單調遞增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=，∴a=-∈[-e，-1]；
若a∈（-∞，-1），F（x）在[1，e]上單調遞減，∴F（x）_min=F（e）=-∉（-∞，-1），舍去；
綜上所述：a=-
（Ⅲ）證明：由（I）可知當b＞0時，有f（b）≥f（x）_min=f（）=-，∴，
即．
∴
分析：（Ⅰ）求導函數，令f′（x）≥0，確定函數的單調遞增區間；令f′（x）≤0，確定函數的單調遞減區間，從而可求函數的最小值；
（Ⅱ）F（x）==，求導函數可得F′（x）=，分類討論，確定函數的單調性，利用函數在[1，e]上是最小值為，可求a的值；
（Ⅲ）由（I）可知當b＞0時，有f（b）≥f（x）_min=f（）=-，所以，從而可知結論成立．
點評：本試題考查了導數在研究函數中的運用，求函數的最值，以及結合不等式的知識證明不等式的成立．解決該試題的關鍵是第一問能利用導數求出參數a的值，并能利用第一問來遞進式解決第二問．