Question

【題目】已知函數f(x)=aln x+ (a>0).

(1)求函數f(x)的極值;

(2)若對任意的x>0,恒有ax(2-ln x)≤1,求實數a的取值范圍;

(3)是否存在實數a,使得函數f(x)在[1,e]上的最小值為0?若存在,試求出a的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當x=時,函數f(x)取得極小值,其極小值為f()=aln+a=a-alna；（2）0<a≤；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）函數求導得， ，結合函數單調性即可得極值；

（2）令，求導得，討論函數單調性得g(x)的最大值為從而得ae≤1即可得解；

（3）討論函數單調性求最小值令其為0判斷是否成立即可.

試題解析：

由題意知x>0, ,

(1)由得->0,解得x>,所以函數f(x)的單調增區間是(,+∞);

由得-<0,解得x<,所以函數f(x)的單調減區間是(0, ),

∴當x=時,函數f(x)取得極小值,其極小值為f()=aln+a=a-alna.

(2)設,則函數g(x)的定義域為(0,+∞).

.

由g'(x)=0得x=e,由a>0可知,當x∈(0,e)時,g'(x)>0,函數g(x)單調遞增;

當x∈(e,+∞)時,g'(x)<0,函數g(x)單調遞減.

∴函數g(x)的最大值為g(e)=ae(2-ln e)=ae.

要使原不等式ax(2-ln x)≤1(x>0)恒成立,只需g(x)的最大值不大于1即可,即g(e)≤1,也就是ae≤1,解得a≤.

又∵a>0,∴0<a≤.

(3)由(1)可知,當x∈(0, )時,f(x)單調遞減,當x∈(,+∞)時,f(x)單調遞增,

①若0<<1,即a>1時,函數f(x)在[1,e]上為增函數,故函數f(x)的最小值為f(1)=aln1+1=1,

顯然1≠0,故不滿足條件.

②若1≤<e,即<a≤1時,函數f(x)在[1, ]上為減函數,在(,e]上為增函數,

故函數f(x)的最小值為f()=aln+a=a-aln a

=a(1-ln a)=0,

即ln a=1,解得a=e,

而e>1,故不滿足條件.

③若≥e,即0<a≤時,函數f(x)在[1,e]上的最小值為f(e)=a+=0,解得a=-<0,不滿足條件.

綜上所述,不存在滿足條件的實數a.