Question

設(shè)φ∈(0，

π

4

)，函數(shù)f（x）=sin²（x+φ），且f(

π

4

)=

3

4

．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(

π

4

)=sin2(

π

4

+φ)=

1

2

[1-cos(

π

2

+2φ)]=

1

2

(1+sin2φ)=

3

4

，∴sin2φ=

1

2

（4分）
∵φ∈(0，

π

4

)，∴2φ∈(0，

π

2

)，∴2φ=

π

6

，φ=

π

12

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin2(x+

π

12

)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)+

1

2

（8分）
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

（9分）
當(dāng)2x+

π

6

=π，即x=

5π

12

時(shí)，cos(2x+

π

6

)取得最小值-1（11分）
∴f（x）在[0，

π

2

]上的最大值為1，此時(shí)x=

5π

12

（12分）