Question

已知函數，．
（1）求函數的單調區間；
（2）若函數在區間的最小值為，求的值．

Answer 1

（1）當時，函數的單調減區間是，當時，函數的單調減區間是，單調增區間為；（2）．

試題分析：（1）求函數的單調區間，可利用定義，也可利用求導法，本題含有對數函數，可通過求導法來求函數的單調區間，求函數導函數，令，找出分界點，從而確定函數的單調區間，但由于含有參數，需對參數分，，討論，從而得函數的單調區間；（2）若函數在區間的最小值為，求的值，求出函數在區間的最小值，令它等于為即可，由（1）可知，當時，函數的單調減區間是，的最小值為，解出，驗證是否符合，當時，函數的單調減區間是，單調增區間為，由于不知函數在區間的單調性，需討論，，，分別求出函數在區間的最小值，令它等于為，解出，驗證是否符合，從而得的值．
試題解析：函數的定義域是， ．
（1）（1）當時，，故函數在上單調遞減．
（2）當時，恒成立，所以函數在上單調遞減．
（3）當時，令，又因為，解得．
①當時，，所以函數在單調遞減．
②當時，，所以函數在單調遞增．
綜上所述，當時，函數的單調減區間是，
當時，函數的單調減區間是，單調增區間為． 7分
（2）（1）當時，由（1）可知，在上單調遞減，
所以的最小值為，解得，舍去．
（2）當時，由（1）可知，
①當，即時，函數在上單調遞增，
所以函數的最小值為，解得．
②當，即時，函數在上單調遞減，
在上單調遞增，所以函數的最小值為，解得，舍去．
③當，即時，函數在上單調遞減，
所以函數的最小值為，得，舍去．
綜上所述，．                                          13分