Question

已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，其一條漸近線方程是，且雙曲線過點.

   （1）求此雙曲線的方程；

   （2）設(shè)直線過點，其方向向量為，令向量滿足.雙曲線的右支上是否存在唯一一點，使得. 若存在，求出對應(yīng)的值和的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線的方程為，將點代入可得，

     雙曲線的方程為.

   （2）依題意，直線 的方程為 .設(shè)是雙曲線右支上滿足

 的點，結(jié)合 ，得，

即點到直線的距離

              

若，則直線在雙曲線右支的上方，故，從而

. 又因為 ，所以

.

此時 ，由得 ，此時方程有唯一解 ，

則

    綜上，符合條件的值為 ，此時.