Question

（2012•許昌縣一模）如圖，四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD三角形，平面VAD⊥底面ABCD，設AB=2
（I）證明：AB⊥平面VAD；
（II）求二面角A-VD-B的正切值；
（III） E是VA上的動點，當面DCE⊥面VAB時，求三棱錐V-ECD的體積．

Answer 1

分析：（I）欲證AB⊥面VAD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB與面VAD內兩相交直線垂直，而VE⊥AB可由面VAD⊥底面ABCD得到，AB⊥CD，滿足定理條件；
（II）設VD的中點為F，連AF，AF⊥VD，由三垂線定理知BF⊥VD，根據二面角平面角的定義可知∠AFB是面VAD與面VDB所成的二面角的平面角，在Rt△ABF中求出此角即可．
（III）由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，說明平面VAD⊥平面ECD．當E是VA的中點時，證明面DCE⊥面VAB，利用三棱錐V-ECD的體積等于三棱錐C-EVD的體積，求解即可

解答：證明：（I）由于面VAD是正三角形，設AD的中點為E，
則VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，則VE⊥AB．
又面ABCD是正方形，則AB⊥CD，故AB⊥面VAD．
（II）由AB⊥面VAD，則點B在平面VAD內的射影是A，
設VD的中點為F，連AF，BF由△VAD是正△，則AF⊥VD，
由三垂線定理知BF⊥VD，
故∠AFB是面VAD與面VDB所成的二面角的平面角．
設正方形ABCD的邊長為a，
則在Rt△ABF中，，AB=a，AF=

3

2

a，tan∠AFB=

AB

AF

=

a

3 2 a

=

2 3

3

故二面角A-VD-B的正切值為：

2 3

3

；
（III）：由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，
∴CD⊥平面VAD．
∴平面VAD⊥平面ECD．
又∵△VAD是正三角形，
∴當E是VA的中點時，ED⊥VA．
∴VA⊥平面EDC．
∴面DCE⊥面VAB
三棱錐V-ECD的體積等于三棱錐C-EVD的體積，
VC-VED=

1

3

•S△VED•DC=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．12分

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，幾何體的體積的求法，以及二面角及其度量，對于二面角的度量在高考中有所弱化，屬于綜合題．