Question

選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中，直線l過點P(2，

3

)且傾斜角為α，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cos(θ-

π

3

)，直線l與曲線C相交于A，B兩點；
（1）若|AB|≥

13

，求直線l的傾斜角α的取值范圍；
（2）求弦AB最短時直線l的參數方程．

Answer 1

分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，把極坐標方程化為直角坐標方程，圓的圓心C（1，

3

），半徑等于 2，再利用利用弦長公式求得圓心到直線的距離 d取值范圍，從而得到直線l的傾斜角α的取值范圍．
（2）當弦AB最短時，直線l過點P且與CP連線垂直，又利用直線l經過點P(2，

3

)，且傾斜角α，寫出直線的參數方程．

解答：解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ=4cos(θ-

π

3

)，即方程ρ²=2ρcosθ+2

3

ρsinθ，
化成直角坐標方程為：x²+y²=2x+2

3

y．
即（x-1）²+（y-

3

）²=4．
圓的圓心為C（1，

3

），半徑等于 2，
直線l過點P(2，

3

)且傾斜角為α，直線的普通方程為：y-

3

=tanα（x-2），
即tanα•x-y+

3

-2tanα=0，
圓心到直線的距離：
d=

|tanα•1- 3 + 3 -2tanα|

tan2α+1

，
∵|AB|≥

13

，∴d≤

22-( 13 2 )2

=

3

2

，
即

|tanα•1- 3 + 3 -2tanα|

tan2α+1

≤

3

2

，
解得，-

3

≤tanα≤

3

．
∴

π

3

≤α≤

2π

3

直線l的傾斜角α的取值范圍[

π

3

，

2π

3

]；
（2）當弦AB最短時，直線l過點P且與CP連線垂直，
又直線CP的斜率為0，
∴當弦AB最短時，直線l的斜率不存在，即直線l垂直于x軸，
∴直線l的參數方程為

x=2 y=t

（t為參數）．

點評：本題考查了直線的參數方程、簡單曲線的極坐標方程和直線與圓的位置關系等知識點，屬于中檔題．