Question

正項數列的前n項和為，且。
（Ⅰ）證明數列為等差數列并求其通項公式；
（2）設，數列的前n項和為，證明：。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析，；（Ⅱ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）證明數列為等差數列并求其通項公式，由已知，這是由求，可根據來求，因此當時，，解得，當時，，整理得，從而得數列是首項為１，公差為２的等差數列，可寫出數列的通項公式；（Ⅱ）設，數列的前n項和為，證明：，首先求出的通項公式，，分母是等差數列連續兩項積，符合利用拆項相消法求和，即，這樣求得和，利用數列的單調性，可證結論．
試題解析：（Ⅰ）由得：當時，，得，
當時，，
整理得，又為正項數列，
故，（），因此數列是首項為1，公差為2的等差數列，
。（6分）
（Ⅱ），
∴，
∵，∴，（8分）
，
∴數列是一個遞增數列     ∴，
綜上所述，。（12分）