Question

【題目】已知數列滿足，，，數列滿足.

（1）證明是等差數列，并求的通項公式；

（2）設數列滿足，，記表示不超過x的最大整數，求關于n的不等式的解集.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2）

【解析】

（1）根據等差數列定義,求得是常數即可證明為等差數列;由累加法,可求得數列的通項公式.

（2）由代入的通項公式中求得,同取倒數后可得,結合裂項法求和可得.判斷出的單調性,即可求得的值域,即可求得的值.再解關于的不等式,即可求得正整數的值,即為不等式的解集.

（1）數列滿足,數列滿足

則

且,

所以數列是以為首項,公差為2的等差數列

則

即

利用遞推公式可得

等式兩邊分別相加可得

而

所以

因為也滿足上式

所以

（2）數列滿足

則

同取倒數可得

即

所以

而

所以

由

可得

所以

所以

所以

則

所以由定義可得

則不等式等價于

而由（1）可知,,

所以

解得,又

所以

所以關于n的不等式的解集為