Question

設函數f(x)=

1

x-1

-1．
（Ⅰ） 求函數f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ） 證明函數f（x）在（1，+∞）上為減函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的定義域可令分母x-1≠0求解；根據函數的定義域即可求得函數的值域；
（Ⅱ）要用函數的單調性的定義來證明函數是一個減函數，首先取兩個具有大小關系的變量，利用這兩個自變量的函數值相減，把最后結果整理成因式乘積的形式，判斷差和0的關系．

解答：解：（Ⅰ）令分母x-1≠0解得x≠1，故定義域為{x|x≠1}
∵f(x)=

1

x-1

-1，由于x-1≠0，
故

1

x -1

≠0
故

1

x -1

-1≠-1，
∴f(x)=

1

x-1

-1的值域是（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
（Ⅱ）證明：在（1，+∞）上任取兩個值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1-1

-1）-（

1

x2-1

-1）
=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在（1，+∞）上是減函數．

點評：本題考查函數單調性的證明以及函數的定義域與值域的求法，求解此類題的關鍵是對函數性質的證明方法了然于胸，熟知其各種判斷證明方法，同時考查運算能力，屬中檔題．