Question

已知函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．當x∈（-3，2）時f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]內的值域；
（Ⅱ）若ax²+bx+c≤0的解集為R，求實數c的取值范圍．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩根，故有

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，且a＜0，解得a和b，然后再根據函數單調性解出函數在[0，1]內的值域即可；
（Ⅱ）在已知a和b的情況下，不等式ax²+bx+c≤0的解集為R，列式

a=-3＜0 △=b2-4ac≤0

，可解出實數c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．當x∈（-3，2）時f（x）＞0
∴-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的兩根，
∴可得

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，所以  a=-3   b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18=-3（x+

1

2

）²+18.75
函數圖象關于x=-0.5對稱，且拋物線開口向下
∴在區間[0，1]上f（x）為減函數，所以函數的最大值為f（0）=18，最小值為f（1）=12
故f（x）在[0，1]內的值域為[12，18]
（Ⅱ）由（I）知，不等式ax²+bx+c≤0化為：-3x²+5x+c≤0
因為二次函數y=：-3x²+5x+c的圖象開口向下，要使-3x²+5x+c≤0的解集為R，只需

a=-3＜0 △=b2-4ac≤0

，
即 25+12c≤0?c≤-

25

12

，
∴實數c的取值范圍(-∞，-

25

12

]．

點評：本題考查二次函數的性質，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．將一元二次不等式和一元二次方程以和二次函數相聯系，采用數形結合的方法，是解決此種問題題的關鍵．
（I）采用一元二次方程根與系數關系，聯解二元方程組，問題得解；
（II）結合函數圖象，轉化為拋物線所有的點在x軸下方或在x軸上的問題．