Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱的長度都是1，M是BC邊的中點，P是AA₁邊上的點，且PA=

6

4

．
（1）求：點P到棱BC的距離；
（2）問：在側棱CC₁上是否存在點N，使得異面直線AB₁與MN所成角為45°？若存在，請說明點N的位置；若不存在，請說明理由；
（3）定義：如果平面α經過線段AA′的中點，并與線段AA′垂直，則稱點A關于平面α的對稱點為點A′．設點A關于平面PBC的對稱點為A′，求：點A′到平面AMC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，以AB順時針旋轉30°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，則

BP

=(-

3

2

，-

1

2

，

6

4

)，

BC

=(-

3

2

，

1

2

，0)，由向量法能求出點P到棱BC的距離．
（2）設在側棱CC₁上是否存在點N（0，0，z），使得異面直線AB₁與MN所成角為45°，由M是BC邊的中點，知

NM

=(

3

4

，

3

4

，-z)，

AB1

=(

3

2

，

1

2

，1)，由異面直線AB₁與MN所成角為45°，知cos45°=

3 8 + 3 8 -z

z2+ 3 4 • 2

，解得z=-

1

8

，不合題意．故在側棱CC₁上是不存在點N．
（3）設平面PBC的平面方程為Ax+By+Cz+D=0，由P（0，0，

6

4

），C（0，1，0），B（

3

2

，

1

2

，0），知

6 4 C+D=0 B+D=0 3 2 A+ 1 2 B+D=0

，故平面PBC的平面方程為x+

3

y+2

2

z-

3

=0，過點A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直線方程是：

x

1

=

y

3

=

z

2 2

，令

x

1

=

y

3

=

z

2 2

=t，得到點A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直線與平面的交點是（

3

12

，

1

4

，

6

6

），從而得到A′(

3

6

，

1

2

，

6

3

)．由此能求出點A′到平面AMC₁的距離．

解答：解：（1）以A為原點，以AB順時針旋轉30°得到的直線為x軸，
以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱的長度都是1，
P是AA₁邊上的點，且PA=

6

4

．
∴P（0，0，

6

4

），C（0，1，0），B（

3

2

，

1

2

，0），
∴

BP

=(-

3

2

，-

1

2

，

6

4

)，

BC

=(-

3

2

，

1

2

，0)，
∴點P到棱BC的距離d=|

BP

|•

1-(cos＜ BP ， BC ＞)2

=

22

4

•

1-( 2 22 )2

=

3 2

4

．
（2）設在側棱CC₁上是否存在點N（0，0，z），使得異面直線AB₁與MN所成角為45°，
∵M是BC邊的中點，
∴M（

3

4

，

3

4

，0），A（0，0，0），B1(

3

2

，

1

2

，1)，
∴

NM

=(

3

4

，

3

4

，-z)，

AB1

=(

3

2

，

1

2

，1)，
∵異面直線AB₁與MN所成角為45°，
∴cos45°=

3 8 + 3 8 -z

z2+ 3 4 • 2

，
整理，得

3 4 -z

z2+ 3 4

=1，
解得z=-

1

8

，不合題意．
∴在側棱CC₁上是不存在點N．
（3）∵P（0，0，

6

4

），C（0，1，0），B（

3

2

，

1

2

，0），
設平面PBC的平面方程為Ax+By+Cz+D=0，
則

6 4 C+D=0 B+D=0 3 2 A+ 1 2 B+D=0

，
∴C=-

2 6

3

D，B=-D，A=-

3

3

D，
∴平面PBC的平面方程為-

3

3

Dx-Dy-

2 6

3

Dz+D=0，
即x+

3

y+2

2

z-

3

=0，
過點A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直線方程是：

x

1

=

y

3

=

z

2 2

，
令

x

1

=

y

3

=

z

2 2

=t，
則x=t，y=

3

t，z=2

2

t，
代入平面方程x+

3

y+2

2

z-

3

=0，
得t+3t+8t-

3

=0，
解得t=

3

12

，
∴過點A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直線與平面的交點是（

3

12

，

1

4

，

6

6

），
∴設點A關于平面PBC的對稱點A′（x，y，z），
則x=2×

3

12

=

3

6

，y=2×

1

4

=

1

2

，z=2×

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