Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點，AB=1
（1）求證：平面A B₁D₁∥平面EFG； 
（2）求三棱錐C-EFG的體積．

Answer 1

分析：（1）先證線面平行，再由線面平行證明面面平行即可；
（2）先根據正方體的性質判斷棱錐的高與底面面積，再利用棱錐的體積公式計算即可．

解答：解：（1）證明：連接BC₁，C₁D，∵E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點，
∴EG∥BC₁，又BC₁∥AD₁，∴EG∥AD₁
EG?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，∴EG∥平面AB₁D₁
同理FG∥平面AB₁D₁，又FG∩EG=G，
∴平面A B₁D₁∥平面EFG．
（2）∵E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點，AB=1
∴CE=CF=CG=

1

2

，又∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴V_C-EFG=

1

3

×S_△CEF×CG=

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

48

．

點評：本題考查面面平行的判定及三棱錐的體積計算．