Question

將側棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側面和底面分別稱為直角三棱錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點及斜面任兩邊中點的截面均稱為斜面的“中面”．請仿照直角三角形以下性質：
（1）斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半；
（2）兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；
（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1．
寫出直角三棱錐的相應性質（至少一條）：

（1）斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；
（2）三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；
（3）斜面與三個直角面所成二面角的余弦平方和等于1

．

Answer 1

分析：根據平面幾何到立體幾何類比的特點：點到線，線到面，或是二維變三維；由題目中直角三角形的性質，我們可以類比三棱錐中相應面的性質或二面角的性質．

解答：解：由平面圖形的性質類比猜想空間幾何體的性質，
一般的思路是：點到線，線到面，或是二維變三維；
由題目中直角三角形以下性質：
（1）斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半（邊的性質），
我們可以推斷三棱錐中，斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一
（2）兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方（邊的性質）；
我們可以推斷三棱錐中，三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方
（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1（邊夾角的性質）．
我們可以推斷三棱錐中，斜面與三個直角面所成二面角的余弦平方和等于1．
故答案為：（1）斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；
（2）三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；
（3）斜面與三個直角面所成二面角的余弦平方和等于1．

點評：本題考查的知識點是類比推理，由平面圖形的性質類比猜想空間幾何體的性質，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．