Question

（1）已知函數y=f（x）在區間D上是奇函數，函數y=g（x）在區間D上是偶函數，求證：G（x）=f（x）•g（x）是奇函數；
（2）已知分段函數f（x）是奇函數，當x∈[0，+∞）時的解析式為y=x²，求這個函數在區間（-∞，0）上的解析表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x），g（x）的奇偶性可得，f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），再根據奇偶性的定義即可證明G（x）為奇函數；
（2）設x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），由已知表達式可求得f（-x），根據奇函數性質可得f（-x）=-f（x），從而可求得f（x）．
解答：（1）證明：因為y=f（x）是奇函數，y=g（x）是偶函數，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
則G（-x）=f（-x）•g（-x）=-f（x）•g（x）=-G（x），
所以G（x）是奇函數；
（2）解：設x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
則f（-x）=（-x）²=x²，
又f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）=-f（-x）=-x²，
故f（x）=-x²，x∈（-∞，0）．
點評：本題考查函數奇偶性的判斷及其應用，屬基礎題，定義是解決該類問題的基礎．