Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓和x軸正半軸于P，Q兩點，且AP：PQ=8：5．
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知直線l過點M（-3，0），傾斜角為

π

6

，圓C過A，Q，F三點，若直線l恰好與圓C相切，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）設出P，Q，F坐標，利用c=

a2-b2

以及AP：PQ=8：5，求出P的坐標代入橢圓方程，即可求橢圓的離心率；
（2）利用直線l過點M（-3，0），傾斜角為

π

6

，求出直線的方程，通過圓C過A，Q，F三點，直線l恰好與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出a，b，c的值，即可求得橢圓方程．

解答：解：（1）設點Q（x₀，0），F（-c，0），P（x，y），其中c=

a2-b2

，A（0，b）．
由AP：PQ=8：5，得

AP

=

8

13

AQ

，
即(x，y-b)=

8

13

(x0，-b)，得P(

8

13

x0，

5

13

b)，…（2分）
點P在橢圓上，∴(

8

13

)2

x02

a2

+(

5

13

)2=1⇒x0=

3

2

a．①…（4分）
而

FA

=(c，b)，

AQ

=(x0，-b)，

FA

⊥

AQ

，
∴

FA

•

AQ

=0．
∴cx0-b2=0，x0=

b2

c

．②…（6分）
由①②知2b²=3ac，
∴2c²+3ac-2a²=0．
∴2e²+3e-2=0，
∴e=

1

2

．　…（8分）
（2）由題意，得直線l的方程y=

3

3

(x+3)，即x-

3

y+3=0，
滿足條件的圓心為O′(

b2-c2

2c

，0)，
又a=2c，∴

b2-c2

2c

=

a2-c2-c2

2c

=c，∴O′（c，0）．　　…（10分）
圓半徑r=

b2 c +2

2

=

a2

2c

=a．　             …（12分）
由圓與直線l：x-

3

y+3=0相切得，

|c+3|

2

=a，…（14分）
又a=2c，∴c=1，a=2，b=

3

．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1． …（16分）

點評：本題是中檔題，考查題意的離心率的求法，直線與圓的位置關系的應用，橢圓方程的求法，考查計算能力，轉化思想，常考題型．