Question

給出下列四個命題：
①?x∈R，e^x≥ex；②?x₀∈（1，2），使得(

x

2 0

-3x0+2)ex0+3x0-4=0成立；③若ABCD為長方形，AB=2，BC=1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點，取得的點到O距離大小1的概率為1-

π

2

；④在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC是銳角三角形，其中正確命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①設f（x）=e^x-ex，求導數，利用導數的正負與函數單調性的關系即可證得e^x≥ex；
②分別將區間（1，2）的兩個端點代入，發現對應的函數值一正一負，根據零點存在定理可得結論；
③要找出點到O的距離大于1的點對應的圖形的面積，并將其和長方形面積一齊代入幾何概型計算公式進行求解．
④利用正切的和角公式變形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化簡整理即可證得．

解答：解：①設f（x）=e^x-ex，則設f′（x）=e^x-e，當x≥1時，f′（x）=e^x-e≥0，
故f（x）=e^x-ex，在[1，+∞）上是增函數，
∴當x≥1時，f（x）≥f（1），即e^x-ex≥0，∴e^x≥ex；
同理，當x＜1時，也有e^x≥ex．
∴①?x∈R，e^x≥ex成立．①是正確命題；
②將x₀=1代入：（

x

2 0

-3x0+2）ex0+3x0-4＜0，
將x₀=2代入：（

x

2 0

-3x0+2）ex0+3x0-4＞0，
故?x₀∈（1，2），使得(

x

2 0

-3x0+2)ex0+3x0-4=0成立．②是正確命題；
③已知如圖所示：
長方形面積為2，
以O為圓心，1為半徑作圓，
在矩形內部的部分（半圓）面積為

π

2

因此取到的點到O的距離大于1的概率P=

2- π 2

2

=1-

π

4

．
③是不正確命題；
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的內角，故內角都是銳角，④是正確命題．
其中正確命題的序號是 ①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題主要以幾何概型、三角形的形狀判斷、導數等為平臺，考查了命題的真假判斷與應用，屬于基礎題．