Question

定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：①對任意x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，②當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0；若P=f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

r2+r-1

)+…+f(

1

20092+2009-1

)，Q=f(

1

2

)，R=f（0），則P，Q，R的大小關系為

Q＜P＜R

（用“＜”連接）

Answer 1

分析：對于f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），當x＜y時，-1＜

x-y

1-xy

＜0，同時有xy＜1，可得f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）＞0，即f（x）-f（y）＞0，可得f（x）為減函數，進而分析P可得，P=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f（

1

r

）-f（

1

r+1

）+…+f（

1

2009

）-f（

1

2010

），消項可得p=f（

1

2

）-f（

1

2010

）=f（

1 2 - 1 2010

1- 1 2 × 1 2010

）=f（

2008

4019

），結合函數的單調性，可得答案．

解答：解：根據題意，若x、y∈（-1，1），有（1-xy）²-（x-y）²=（1-x²）（1-y²）＞0，即（1-xy）²＞（x-y）²，
則可得-1＜

x-y

1-xy

＜1，
當x＜y時，易得xy＜1，進而可得-1＜

x-y

1-xy

＜0，此時有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）＞0，即f（x）-f（y）＞0，
則f（x）為減函數，
對于P，f（

1

r2+r-1

）=f（

1 r - 1 r+1

1- 1 r × 1 r+1

）=f（

1

r

）-f（

1

r+1

），
則P=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f（

1

r

）-f（

1

r+1

）+…+f（

1

2009

）-f（

1

2010

）=f（

1

2

）-f（

1

2010

）=f（

1 2 - 1 2010

1- 1 2 × 1 2010

）=f（

2008

4019

），
易得0＜

2008

4019

＜

1

2

，根據f（x）為減函數，
可得f（0）＞f（

2008

4019

）＞f（

1

2

），
即Q＜P＜R；
故答案為Q＜P＜R．

點評：本題考查抽象函數的應用，關鍵在于根據題意，判斷函數的單調性，難點在于對P的轉化．