Question

若數(shù)列都成立，則我們把數(shù)列稱為“L型數(shù)列”．

　　(1)試問等差是否為L型數(shù)列？若是，寫出對應p、q的值；若不是，說明理由．

　　(2)已知L型數(shù)列滿足

　　　，

的兩根，若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列(只選其中之一加以證明即可)．

(3)請你提出一個關于L型數(shù)列的問題，并加以解決．(本小題將根據(jù)所提問題的普適性給予不同的分值，最高10分)

Answer 1

解析： (1) 等差數(shù)列都是L型數(shù)列．

　　理由　當數(shù)列，　　　

即，且相應的．                   　　   2分

　　所以等差數(shù)列是L型數(shù)列．　　　　　　　　　　　　　　

同樣，當數(shù)列，　　 

即，且相應的．     　               4分

　　所以等比數(shù)列是L型數(shù)列．　　　　　　　　　　　　　  

證(2)∵，，

       ，

∴．  6分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　

    ∴數(shù)列．　　10分

(同理可證，數(shù)列)

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

  (3)下面僅提供本小題提問涉及的可能情況和評分指導意見，若考生提出的問題與下列情況不同，則可根據(jù)問題的普適性分別歸在下面某個層面加以評分．

第一層面的問題　(給予0分)

(1)  提出等差數(shù)列、等比數(shù)列是L型數(shù)列的問題．(本大題的第一問已經(jīng)解決)

(2)  判斷一個數(shù)列不是L型數(shù)列的問題．(不符合題意要求)

 

第二層面的問題　(給予4分，可得提出問題2分，解答問題2分)

(1)  提出并解決：已知數(shù)列是等差數(shù)列，則是L型數(shù)列．

(2)  提出并解決：

已知數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是L型數(shù)列．

第三層面的問題　(給予6分，可得提出問題3分，解答問題3分)

(1)提出并解決：求本大題第二問中數(shù)列的通項公式(或前n項和公式)問題.

(2) 提出并解決：

已知數(shù)列是等差數(shù)列，則是L型數(shù)列．

(3)  提出并解決：求某個特殊L型數(shù)列的通項公式(或前n項和公式)問題.

(4)  提出并解決：已知數(shù)列是L型數(shù)列，則是L型數(shù)列．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

第四層面的問題　(給予8分，可得提出問題4分，解答問題4分)

(1) 提出并解決：求某類L型數(shù)列的通項公式(或前n項和公式)問題(這里主要指按).

(2) 提出并解決：求Fibonacci數(shù)列的通項公式問題(把該問題列入這一層面，主要是鼓勵學生利用及時學習的新知識解決熟悉的著名數(shù)列的有關問題)．

第五層面的問題　(給予10分，可得提出問題2分，解答問題8分)

(1)提出并解決：求一般L型數(shù)列的通項公式的問題.

(2)提出并解決：求一般L型數(shù)列的前n項和公式的問題．

【第五層面問題中的(1)的樣例】

問題  已知L型數(shù)列

，求通項公式.

解  設的兩根. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    ①若

，于是，().

②若

 　  ，又，

所以的等差數(shù)列．

因此，．

綜上所述，若的兩個不等根時，L型數(shù)列的通項公式為()；若的兩個等根時，數(shù)列的通項公式為．