Question

如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=3，PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正弦值．

Answer 1

分析：取BC的中點D，連接PD，AD，由等腰三角形三線合一，可得PD⊥BC，又由PA⊥平面ABC，結合三垂線定理的逆定理可得AD⊥BC，則∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角，解三角形PDA，即可求出二面角P-BC-A的正弦值．

解答：解：取BC的中點D，連接PD，AD，
∵PB=PC，∴PD⊥BC
∵PA⊥平面ABC，由三垂線定理的逆定理得 AD⊥BC
∴∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角
∵PB=PC=BC=6，∴PD=

3

2

×6=3

3

sin∠PDA=

PA

PD

=

3

3 3

=

3

3

  即二面角P-BC-A的正弦值是

3

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中由三垂線定理得到∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角，將二面角問題轉化為解三角形問題是解答本題的關鍵．