Question

已知函數（其中且），是的反函數.
（1）已知關于的方程在區間上有實數解，求實數的取值范圍；
（2）當時，討論函數的奇偶性和增減性；
（3）設，其中.記，數列的前項的和為（），
求證：.

Answer 1

(1)；(2)奇函數，減函數；(3)證明見解析．

試題分析：(1)這是一個對數方程，首先要轉化為代數方程，根據對數的性質有，從而有，方程在上有解，就變為求函數在上的值域，轉化時注意對數的真數為正；(2)奇偶性和單調性我們都根據定義加以解決；(3)，
，要證明不等式成立，最好是能把和求出來，但看其通項公式，這個和是不可能求出的，由于我們只要證明不等式，那么我們能不能把放縮后可求和呢？，顯然，即，左邊易證，又由二項式定理
，在時，，所以，注意到，至此不等式的右邊可以求和了，
，得證．
試題解析：（1）轉化為求函數在上的值域，
該函數在上遞增、在上遞減，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范圍為。         4分
（2）的定義域為，         5分
定義域關于原點對稱，又， ，所以函數為奇函數。         6分
下面討論在上函數的增減性.
任取、，設，令，則，，所以
因為，，，所以.        7分
又當時，是減函數，所以.由定義知在上函數是減函數.         8分
又因為函數是奇函數，所以在上函數也是減函數.        9分
（3） ；        10分
因為，，所以，。  11分
設，時，則 ，   12分
且，   13分
由二項式定理，        14分
所以，
從而。        18分