Question

過雙曲線-=1(a＞0,b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點,以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率等于______________.

Answer 1

解析：直線MN⊥x軸且過(-c,0).

∵以MN為直線的圓過右頂點,

∴y_m=a+c.

    將x=-c代入-=1中,得y=±.

∴y_m=.∴=a+c,即b²=a²+ac.

∵c²-a²=b²,∴c²-a²=a²+ac.

∴c²=2a²+ac.同除a²,得=2+,

∴e²-e-2=0.∴e=2或e=-1(舍).

答案：2