Question

已知z是復(fù)數(shù)，z+3i、均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）求一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)z=x+yi（x、y∈R），
z+3i=x+（y+3）i，由題意得 y=-3．…（3分）
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由題意得x=9．∴z=9-3i．…（7分）
（2）若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z=9-3i，則必有共軛虛根=9+3i．…（10分）
z+=18，z•=90，…（12分）
∴所求的一個(gè)一元二次方程可以是x²-18x+90=0．…（14分）
分析：（1）設(shè)z=x+yi（x、y∈R），根據(jù)z+3i、均為實(shí)數(shù)可求出x與y的值，從而求出所求；
（2）若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z=9-3i，則必有共軛虛根=9+3i，求出z+與z•根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．
點(diǎn)評：本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，以及根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了共軛復(fù)數(shù)等基本概念，屬于基礎(chǔ)題．