Question

在海島上有一座海拔1km的山峰，山頂設有一個觀察站.有一艘輪船按一固定方向做勻速直線航行，上午11:00時，測得此船在島北偏東、俯角為的處，到11:10時，又測得該船在島北偏西、俯角為的處.

(1) 求船的航行速度；

(2) 求船從到行駛過程中與觀察站的最短距離.

Answer 1

【命題意圖】本小題主要考查解三角形的有關知識及空間想象能力，具體涉及到余弦定理、正弦定理，三角形的面積公式.

       【試題解析】解：⑴設船速為km/h，則km.

在△中，∠與俯角相等為30°，∴.

同理，△中，.                              (4分)

在△中，∠15°＋45°＝60°，

∴由余弦定理得，

∴km/h，∴船的航行速度為km/h.              　(6分)

⑵(方法一) 作于點，∴當船行駛到點時，最小，從而最小.

此時，.                  (10分)

∴＝.

∴船在行駛過程中與觀察站的最短距離為km.                    (12分)

 (方法二) 由⑴知在△中，由正弦定理，

∴.                                             (8分)

作于點，∴當船行駛到點時，最小，從而最小.

此時，.                              (10分)

∴＝.

∴船在行駛過程中與觀察站的最短距離為km.                    (12分)