Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若時，討論在區(qū)間上零點個數(shù)；

（2）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）一個零點；（2）

【解析】

分和兩種情況進行分類討論,利用零點存在性定理進行判斷即可;

利用分類討論思想,分,,分別求解函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)在上的最小值即可.

（1）當時，，

當時，，故，

故在上無零點；

當時，，

因為，，故，

因此在上單調(diào)遞增.

因為，，

故存在唯一使得.

綜上知，在區(qū)間上有一個零點；

（2）當時，，

①當時，因為，，，

故，所以在上單調(diào)遞增.

故，符合題意；

②當時，令，，

故在上單調(diào)遞增，

故，可得，

所以在上單調(diào)遞增，

因此,符合題意；

③當時，令，

則，，

令，，

故，故，

由零點存在性定理可知,存在使得，

所以在上，在上，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當時，，與題意矛盾，

故不符合題意.

綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.