Question

已知橢圓方程為（a＞b＞0），它的一個頂點為M（0，1），離心率e=，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，得，
解得，
∴橢圓方程為；
（Ⅱ）①當AB⊥x軸時，；
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知，得，
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴；
當k≠0時，
|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²


，
當且僅當，即時等號成立，此時|AB|=2；
當k=0時，；
綜上所述|AB|_max=2，
此時△AOB面積取最大值。