Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分）別為AB，CD的中點，AE的延長線交CB于F．現將△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，連接AF．
（I）求證：平面AEF⊥平面CBD；
（II）當AC⊥BD時，求二面角A-CD-B大小的余弦值．

Answer 1

解：
（I）證明：在Rt△ABC中，D為AB的中點，得AD=CD=DB，
又∠B=30°，得△ACD是正三角形，
又E是CD的中點，得AF⊥CD．
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AED，EF?平面AEF，
故CD⊥平面AEF，

又CD?平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD．
（II）過點A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延長線，
因為CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，
所以AH⊥平面CBD．
連接CH并延長交BD的延長線于G，
由已知AC⊥BD，得CH⊥BD，可得BD垂直于面AHC，從而得到BD垂直于線CG
可得∠CGB=90°，
因此△CEH∽△CGD，
則，
設AC=a，易得
∠GDC=60°，DG=，
代入上式得EH=，
又EA=
故cos∠HEA=．
又∵AE⊥CD，EF⊥CD，
∴∠AEF即為所求二面角的平面角，
故二面角A-CD-B大小的余弦值為-．

分析：（I）欲證平面AEF⊥平面CBD，根據面面垂直的判定定理可知在平面CDB內一直線與平面AEF垂直，根據翻折前后有些垂直關系不變AE⊥CD，EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE?平面AED，EF?平面AEF，滿足線面垂直的判定定理，則CD⊥平面AEF，又CD?平面CDB，滿足定理所需條件；
（II）先作出二面角的平面角，過點A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延長線，連接CH并延長交BD的延長線于G，根據二面角平面角的定義可知∠AEF即為所求二面角的平面角，在三角形AEF中求出此角即可求出所求．
點評：本題主要考查了面面垂直的判定，以及二面角平面角的度量，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．