Question

如圖，已知圓C的圓心坐標為（1，-1），且過點M（2，-1）．
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點N（-1，-2）且斜率為1的直線l與圓C相交于A、B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據題意，設圓C的方程為（x-1）²+（y+1）²=r²，將點M（2，-1）的坐標代入算出r的值，即可得出圓C的標準方程；
（2）求出直線l方程為x-y-1=0，利用點到直線的距離公式算出點C到直線l的距離，再利用垂徑定理加以計算，即可得到直線l被圓C截得的線段AB長．

解答：解：（1）∵圓C的圓心坐標為（1，-1），
∴設圓C的方程為（x-1）²+（y+1）²=r²．
∵點M（2，-1）在圓C上，
∴（2-1）²+（-1+1）²=r²，解之得r=1（舍負）．
∴圓C的標準方程為（x-1）²+（y+1）²=1；
（2）∵直線l過點N（-1，-2）且斜率為1，
∴直線l方程為y+2=x+1，即x-y-1=0
過C作CD⊥AB于點D，連結AC，則D為AB的中點
Rt△ACD中，AD=

CA2-CD2

∵CD=

|1+1-1|

2

=

2

2

∴AB=2AD=2

CA2-CD2

=

2

點評：本題給出圓滿足的條件，求圓的方程并求定直線被圓截得的弦長．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．