Question

已知函數f(x)＝lg(a^x－b^x)(a>1>b>0)．
(1)求函數y＝f(x)的定義域；
(2)在函數y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸；
(3)當a、b滿足什么關系時，f(x)在區間上恒取正值．

Answer 1

（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b＋1

(1)由a^x－b^x>0，得^x>1，因為a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．
(2)設x₁>x₂>0，因為a>1>b>0，所以ax₁>ax₂，bx₁<bx₂，則－bx₁>－bx₂，所以ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0，于是lg(ax₁－bx₁)>lg(ax₂－bx₂)，即f(x₁)>f(x₂)，因此函數f(x)在區間(0，＋∞)上是增函數．假設函數y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使得直線AB平行于x軸，即x₁≠x₂，y₁＝y₂，這與f(x)是增函數矛盾．故函數y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸．
(3)由(2)知，f(x)在區間(1，＋∞)上是增函數，所以當x∈(1，＋∞)時，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以當a≥b＋1時，f(x)在區間(1，＋∞)上恒取正值．