Question

【題目】設數組，，，數稱為數組的元素．對于數組，規定：

①數組中所有元素的和為；

②變換，將數組變換成數組，其中表示不超過的最大整數；

③若數組，則當且僅當時，．

如果對數組中任意個元素，存在一種分法，可將其分為兩組，每組個元素，使得兩組所有元素的和相等，則稱數組具有性質．

（Ⅰ）已知數組，，計算，，并寫出數組是否具有性質；

（Ⅱ）已知數組具有性質，證明：也具有性質；

（Ⅲ）證明：數組具有性質的充要條件是．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數組是具有性質，數組不具有性質．（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）根據題意，即可容易得，則可判斷；

（Ⅱ）對都為奇數和都為偶數，結合性質的定義，即可證明；

（Ⅲ）從充分性和必要性上，結合（Ⅱ）中所求，即可證明.

（Ⅰ），；

數組是具有性質，數組不具有性質．

（Ⅱ）證明：當元素均為奇數時，

因為，，所以．

對中任意個元素，不妨設為．

因為數組具有性質，所以對于，

存在一種分法：將其分為兩組，每組個素，使得各組內所有元素之和相等．

如果用替換上述分法中的（），

就可以得到對于的一種分法：

將其分為兩組，每組個元素，顯然各組內所有元素之和相等．

所以此時也具有性質．

當元素均為偶數時，

因為，，所以．

對中任意個元素，不妨設為．

因為數組具有性質，所以對于，

存在一種分法：將其分為兩組，每組個元素，使得各組內所有元素之和相等．

如果用替換上述分法中的（），

就可以得到對于的一種分法：

將其分為兩組，每組個元素，顯然各組內所有元素之和相等．

所以此時也具有性質．

綜上所述，由數組具有性質可得也具有性質．

（Ⅲ）證明：（1）充分性：顯然成立．

（2）必要性：

因為數組具有性質，所以對于數組中任意個元素，存在一種分法：

將個元素平均分成2組，并且各組內所有元素之和等于同一個正整數，

所以均為偶數，從而元素的奇偶性相同．

由（Ⅱ）可知，如果數組具有性質，

那么仍具有性質．

又因為，當為奇數時，

，當且僅當時等號成立，

當為偶數時，

，

由此得到的充要條件是．

易知，

當且僅當時等號成立．

即，當且僅當時等號成立．

令，，．

假設對于任意的，有，則，

又，，得，即．

得 ，…，

，

所以，且單調遞減．

又因為，矛盾．

所以存在，有．

又由結論1，得此時．

上述過程倒推回去，

因為數組均具有性質，即數組中元素

的奇偶性相同，可得數組中的所有元素都相同，

所以，數組中的元素均相同，即．